二进制表示小数

使用乘二取整发可以求小数的二进制表示，注意：有的小数不是能够用二进制有限表示，需要保留位数。

IEEE 754表示浮点数

首先几种浮点数类型

来自参考1

浮点数的计算公式为：(-1)^s * M * 2^E。对于对于浮点数，frac（尾数）代表M，exp（阶码）则代表E。注意frac和M，exp和E有时不是相等的，因为浮点数的表示有位数的限制。

举例：单精度浮点数蕴含的几种情况：

规格化的，exp部分为不等于0且不等于255（即2^8-1）
非规格化的，exp部分全为0
无穷大，exp部分全部为1，frac部分全为0
NaN，exp部分全为1，frac不都为0

情况一：

值的计算公式就是：v=(-1)^s * M * 2^E。

E = exp - Bias。Bias是一个偏置的值，exp是阶码表示的十进制的数字，E是阶码的十进制的值。Bias = 2 ^ (k - 1) -1（k就是exp的二进制位的长度）。

设f表示小数的值。f = frac的值，所以frac实际上保存的是二进制的科学记数法的尾数的部分。令

令M = f + 1，E = exp - Bias。带入v的公式就可以得出浮点数表示的值

情况二：非规格化的值

阶码exp为0，如果尾数全部为0。如果是规格化的，M>=1是成立的。所以使用非规格化的值，M = f = 0（也就是说frac的前面不再是1，而是0了）. 当s=-1、0，分别表示的就是-0.0和+0.0。非规格化的数还可以表示非常接近0.0的数，他提供一种属性称为逐渐溢出。

特殊值：无穷大和NaN

当阶码全部为1时，若frac全为0则表示无穷大. 无穷大的方向取决于符号位s. 当frac不为0时,表示NaN. 一些运算会产生无穷大或者NaN.

浮点数的分布：越靠近原点他们越稠密。

来自参考1

例子:

s exp frac E 值

------------------------------------------------------------------

0 0000 000 -6 0 # 这部分是非规范化数值，下一部分是规范化值

0 0000 001 -6 1/8 * 1/64 = 1/512 # 能表示的最接近零的值

0 0000 010 -6 2/8 * 1/64 = 2/512

...

0 0000 110 -6 6/8 * 1/64 = 6/512

0 0000 111 -6 7/8 * 1/64 = 7/512 # 能表示的最大非规范化值

------------------------------------------------------------------

0 0001 000 -6 8/8 * 1/64 = 8/512 # 能表示的最小规范化值

0 0001 001 -6 9/8 * 1/64 = 9/512

...

0 0110 110 -1 14/8 * 1/2 = 14/16

0 0110 111 -1 15/8 * 1/2 = 15/16 # 最接近且小于 1 的值

0 0111 000 0 8/8 * 1 = 1

0 0111 001 0 9/8 * 1 = 9/8 # 最接近且大于 1 的值

0 0111 010 0 10/8 * 1 = 10/8

...

0 1110 110 7 14/8 * 128 = 224

0 1110 111 7 15/8 * 128 = 240 # 能表示的最大规范化值

------------------------------------------------------------------

0 1111 000 n/a 无穷 # 特殊值

表的总结

对于exp = 0000, 即非规格化的数据, 间距都是1/8
由于间隔的存在0~1之间的小数只能以 1/8 为最小单位来表示，且相邻数字间间距一样.
最大的非规格化数7/512和最小的规格化数8/512之间平滑过渡得益于非规格化的frac前面没有1
当frac继续+1且exp为1110直到exp溢出为1111, 即无穷

舍入

在二进制中,最低为0被认为偶数, 为1为奇数(毕竟时2^0次方+2^x的和). 加粗的部分为需要确保为偶数的位.

正中间值类似于XXX.YYY1000类型.最右侧的Y时要被省去的序列的第一位, 如果保留的最低位(加粗的部分)为0, 且之后的序列不为都为0...0则不到一半; 如果为1且之后的都不为0...0则时超过了一半.

十进制二进制舍入结果十进制原因

2 又 3/32 10.00011 10.00 2 不到一半，正常四舍五入(011 )

2 又 3/16 10.00110 10.01 2 又 1/4 超过一半，正常四舍五入(110)

2 又 7/8 10.11100 11.00 3 刚好在一半时，保证最后一位是偶数，所以向上舍入(100)

2 又 5/8 10.10100 10.10 2 又 1/2 刚好在一半时，保证最后一位是偶数，所以向下舍入(100)

可能的中间值向偶数舍入在统计的时候有50%的时间里发生,所以能够平均统计的误差.

浮点运算

①加法

假设两个浮点数：

ｘ＝2^Eｘ·M_ｘ

ｙ＝2^Eｙ·M_ｙ

两浮点数进行加法和减法的运算规则是

ｘ±ｙ＝(M_ｘ2^Eｘ－Eｙ±M_ｙ)2^Eｙ，　　E_ｘ<＝E_ｙ

运算的步骤是：

1.检查0操作数

浮点加减运算过程比定点运算过程复杂。如果判知两个操作数x或y中有一个数为0，即可得知运算结果而没有必要再进行后续的一系列操作，以节省时间。0操作数检查步骤则用来完成这一功能。

2. 比较阶码大小并完成对阶

两浮点数进行加减，首先要看两数的阶码是否相同，即小数点位置是否对齐。若两数阶码相同，表示小数点是对齐的，就可以进行尾数的加减运算。反之，若两数阶码不同，表示小数点位置没有对齐，此时必须使两数的阶码相同，这个过程叫做对阶。

要对阶，首先应求出两数阶码Ex和Ey之差，即:△x = Ex - Ey

若Ex = Ey，表示两数阶码相等，不需改变两数的阶码；若Ex ≠ Ey，要通过尾数的移位以改变Ex或Ey，使之相等。由于浮点表示的数多是规格化的，尾数左移会引起最高有产位的丢失，造成很大误差；而尾数右移虽引起最低有效位的丢失，但造成的误差较小，因此，对阶操作规定使尾数右移，尾数右移后使阶码作相应增加，其数值保持不变。很显然，一个增加后的阶码与另一个相等，所增加的阶码一定是小阶。因此在对阶时，总是使小阶向大阶看齐，即小阶的尾数向右移位(相当于小数点左移)，每右移一位，其阶码加1，直到两数的阶码相等为止，右移的位数等于阶差△E。

3. 尾数进行加或减运算

对阶完毕后就可对尾数求和。不论是加法运算还是减法运算，都按加法进行操作，其方法与定点加减运算完全一样。

4. 结果规格化并进行舍入处理。

需要满足的性质，尾数M, 1<= M < 2. 对尾数的和需要进行规格化处理，

在对阶或向右规格化时，尾数要向右移位，这样，被右移的尾数的低位部分会被丢掉，从而造成一定误差，因此要进行舍入处理。

常用的舍入方法有两种：一种是“0舍1入”法，即如果右移时被丢掉数位的最高位为0则舍去，为1则将尾数的末位加“1”，另一种是“恒置1”，即只要数位被移掉，就在尾数的末位恒置“1”。

浮点数加法的性质：

相加可能产生 infinity 或者 NaN
满足交换率
不满足结合律（因为舍入会造成精度损失，如 (3.14+1e10)-1e10=0，但 3.14+(1e10-1e10)=3.14）
加上 0 等于原来的数
除了 infinity 和 NaN，每个元素都有对应的倒数
除了 infinity 和 NaN，满足单调性，即 a≥b→a+c≥b+c

②乘法

假设两个浮点数

$ｘ＝2 Eｘ \cdot S ｘｙ＝2 Eｙ \cdot S ｙ则浮点乘法运算的规则是： x \times y = 2 (Ex + Ey) \cdot(S x \times S y) (2.7.2) 可见，乘积的尾数是相乘两数的尾数之积，乘积的阶码是相乘两数的阶码之和。当然，这里也有规格化与舍入等步骤。浮点除法运算的规则是： x \div y = 2 (Ex - Ey) \cdot(S x \div S y) (2.7.3) 可见，商的尾数是相除两数的尾数之商，商的阶码是相除两数的阶码之差。当然也有规格化和舍入等步骤。$

浮点数的乘除运算大体分为四步：

第一步,0 操作数检查；第二步,阶码加/减操作；第三步,尾数乘/除操作；第四步,结果规格化及舍入处理。

(1) 浮点数的阶码运算

对阶码的运算有＋1、－1、两阶码求和、两阶码求差四种，运算时还必须检查结果是否溢出。在计算机中，阶码通常用补码或移码形式表示。补码运算规则和溢出的方法，前面已经讲过。这里只对移码的运算规则和判定溢出的方法进行讲解。

移码的定义为：

[x]_移 = 2ⁿ + x 　　　2ⁿ＞ x ≥2 ^-n

按此定义，有

[x]_移+[y]_移= 2ⁿ + x + 2ⁿ + y

= 2ⁿ + (2ⁿ + (x + y))

= 2ⁿ + [x + y]_移

即直接用移码实现求阶码之和时，结果的最高位多加了个1，要得到移码形式的结果，必须对结果的符号再执行一次求反。

考虑到移码和补码的关系：对同一个数值，其数值位完全相同，而符号位正好相反。而[y]_补的定义为

[y]_补= 2ⁿ⁺¹ + y

则求阶码和用如下方式完成：

[x]_移+ [y]_补= 2ⁿ + x + 2ⁿ⁺¹ + y = 2ⁿ⁺¹ +(2ⁿ + (x + y))

即

[x + y]_移=[x]_移+ [y]_补(mod 2ⁿ⁺¹)

同理

[x - y]_移=[x]_移+ [-y]_补

上二式表明执行阶码加减时，对加数或减数y应送移码符号位正常值的反码。

如果阶码运算的结果溢出，上述条件则不成立。此时，使用双符号位的阶码加法器，工规定移码的第二个符号位，即最高符号位恒用0参加加减运算，则溢出条件是结果的最高符号位为1。此时，当低位符号位为0时，表明结果上溢；为1时，表明结果下溢。当最高符号位为0时，表明没有溢出；低位符号位为1，表明结果为正；为0时，表明结果为负。

【例】 x = +011，y = +110，求[x + y]_移和[x - y]_移，并判断是否溢出。

[解:] [x]_移= 01,011，[y]_补= 00,110，[-y]_补=11,010

[x + y]_移=[x]_移+ [y]_补=10,001，结果上溢。

[x - y]_移=[x]_移+ [-y]_补=00,101，结果正确，为-3。

(2) 尾数处理

浮点加减法对结果的规格化及舍入处理也适用于浮点乘除法。

第一种简单的办法是，无条件地丢掉正常尾数最低位之后的全部数值。这种办法被称为截断处理，其好处是处理简单，缺点是影响结果的精度。

第二种简单办法是，运算过程中保留中移出的若干高位的值，最后再按某种规则用这些位上的值修正尾数，这种处理方法被称为舍入处理。

当尾数用原码表示时，舍入规则比较简单。最简便的方法，是只要尾数最低位为1，或移出的几位中有为1的数值位，就使最低位的值为1。另一种是0舍1入法，即当丢失的最高位的值为1时，把这个1加到最低数值位上进行修正，否则舍去丢失的各位的值。这样处理时，舍入效果对负数是相同的，入将使数的绝对值变大，舍则使数的绝对值变小。

当尾数是用补码表示时，所用的舍入规则，应该与用原码表示时产生相同的处理效果，具体规则是：

当丢失的各位均为0时，不必舍入；

当丢失的最高位为0，以下各位不全为0时，或者丢失的最高位为1，以下各位均为0时，则舍去丢失位上的值；

当丢失的最高位为1，以下各位不全为0时，则执行在尾数最低位入1的修正操作。

【例】 设[x₁]_补 = 11.0110，[x₂]_补 = 11.01100001，[x₃]_补 = 11.01101000，[x₄]_补 = 11.01111001，求执行只保留小数点后4位有效数字的舍入操作值。

[解:] 执行舍入操作后，其结果值分别为

[x₁]_补 = 11.0110(不舍不入)

[x₂]_补 = 11.0110(舍)

[x₃]_补 = 11.0110(舍)

[x₄]_补 = 11.1000(入)

基本性质

相乘可能产生 infinity 或者 NaN
满足交换率
不满足结合律（因为舍入会造成精度损失）
乘以 1 等于原来的数
不满足分配率 1e20*(1e20-1e20)=0.0 但 1e20*1e20-1e20*1e20=NaN
除了 infinity 和 NaN，满足单调性，即 $a \geq b \to a \times c \geq a \times b$

（CSAPP） – 二进制小数表示

二进制表示小数

IEEE 754表示浮点数

表的总结

舍入

浮点运算

C语言中的浮点数

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mooc

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